Question

10．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$在点（-1，f（-1））的切线方程为x+y+3=0．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设g（x）=lnx，当x∈[1，+∞）时，求证：g（x）≥f（x）；
（III）已知0＜a＜b，求证：$\frac{lnb-lna}{b-a}$$＞\frac{2a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 （I）将切点横坐标代入切线方程，求出切点，得到关于a，b的等式，求出f（x）的导数，将x=-1代入导函数，令得到的值等于切线的斜率-1；
（II）将要证的不等式变形，构造新函数h（x），求出其导函数，判断出其符号，判断出h（x）的单调性，求出h（x）的最小值，得到要证的不等式；
（III）将要证的不等式变形，转化为关于$\frac{b}{a}$的不等式，利用（II）得到的函数的单调性，得到恒成立的不等式，变形即得到要证的不等式．

解答 解：（Ⅰ）将x=-1代入切线方程得y=-2，
∴f（-1）=$\frac{b-a}{2}$=-2，
化简得b-a=-4，f（x）的导数为f′（x）=$\frac{a（{x}^{2}+1）-（ax+b）•2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
f′（-1）=$\frac{2a+2（b-a）}{4}$=-1，
解得：a=2，b=-2．
∴f（x）=$\frac{2x-2}{{x}^{2}+1}$；
（Ⅱ）证明：lnx≥$\frac{2x-2}{{x}^{2}+1}$在[1，+∞）上恒成立，
即为（x²+1）lnx≥2x-2，
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
设h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，h′（x）=2xlnx+x+$\frac{1}{x}$-2，
∵x≥1，
∴2xlnx≥0，x+$\frac{1}{x}$≥2，
即h'（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0，
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；                      
（Ⅲ）证明：∵0＜a＜b，
∴$\frac{b}{a}$＞1，
由（Ⅱ）知有ln$\frac{b}{a}$＞$\frac{\frac{2b}{a}-2}{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+1}$，
整理得：$\frac{lnb-lna}{b-a}$$＞\frac{2a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∴当0＜a＜b时，$\frac{lnb-lna}{b-a}$$＞\frac{2a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$．

点评 本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值；证明不等式恒成立，通过构造函数转化为不等式恒成立，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．