【题目】已知p:指数函数f(x)=(2a-6)x在R上是单调减函数;q:关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两根均大于3,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
【答案】(,3]∪[
,+∞).
【解析】试题分析:根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围,利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围;
据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真,p且q为假”转化为p ,q的真假,列出不等式解得.
试题解析:
p真,则指数函数f(x)=(2a-6)x的底数2a-6满足0<2a-6<1,所以3<a<.
q真,令g(x)=x2-3ax+2a2+1,易知其为开口向上的二次函数.因为x2-3ax+2a2+1=0的两根均大于3,所以①Δ=(-3a)2-4(2a2+1)=a2-4>0,a<-2或a>2;②对称轴x=-=
>3;③g(3)>0,即32-9a+2a2+1=2a2-9a+10>0,所以(a-2)(2a-5)>0.所以a<2或a>
.
由得a>
.
p真q假,由3<a<及a≤
,得a∈.
p假q真,由a≤3或a≥及a>
,得
<a≤3或a≥
.
综上所述,实数a的取值范围为(,3]∪[
,+∞).
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【题目】如图,海上有、
两个小岛相距
,船
将保持观望
岛和
岛所成的视角为
,现从船
上派下一只小艇沿
方向驶至
处进行作业,且
.设
.
(1)用分别表示
和
,并求出
的取值范围;
(2)0晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射
岛,
岛至光线
的距离为
,求
的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=的定义域为(-1,1),满足f(-x)=-f(x),且
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式 .
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【题目】设是实数,
,
(1)若函数为奇函数,求
的值;
(2)试用定义证明:对于任意,
在
上为单调递增函数;
(3)若函数为奇函数,且不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围。
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【题目】选修:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求实数m的取值范围.
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【题目】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与市场预测,知A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2.(注:所示图中的横坐标表示投资金额,单位:万元)
图1 图2
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润为多少万元?
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