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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bcosC+
3
bsinC=a+c.
(1)求∠B的大小;
(2)若b=
3
,求a+c的取值范围.
考点:正弦定理,余弦定理
专题:计算题,三角函数的求值,解三角形
分析:(1)运用正弦定理,将边化为角,再由两角和差的正弦公式,化简整理即可得到角B;
(2)运用两角和的正弦公式,结合C的范围,由正弦函数的图象和性质即可得到范围.
解答: 解:(1)由正弦定理,可得,
bcosC+
3
bsinC=a+c即为
sinBcosC+
3
sinBsinC=sinA+sinC
=sin(B+C)+sinC
=sinBcosC+cosBsinC+sinC,
即有
3
sinB-cosB=1,
即2(
3
2
sinB-
1
2
cosB)=1,
即有sin(B-
π
6
)=
1
2

由于0<B<π,则有B-
π
6
=
π
6

则B=
π
3

(2)A+C=π-B=
3

则0<C<
3

则a+c=bcosC+
3
bsinC=
3
cosC+3sinC
=2
3
1
2
cosC+
3
2
sinC)
=2
3
sin(C+
π
6
),
由于
π
6
<C+
π
6
6
,则
1
2
sin(C+
π
6
)≤1,
则a+c的取值范围是(
3
,2
3
].
点评:本题考查正弦定理的运用,考查三角函数的化简和求值,考查两角和差的正弦公式,正弦函数的图形和性质,考查运算能力,属于中档题.
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已知a>0,b>0,且4a-b≥0,若函数f(x)=
1
3
ax3+x2+bx无极值,则
b-2
a+1
的取值范围为(  )
A、[2
3
-4,4]
B、[2
3
-4,+∞]
C、[-2
3
-4,4]
D、[-2
3
-4,+∞]

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已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+
3
2
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2
,求此抛物线的方程.

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π
4
个单位,所得函数为g(x).
(1)求函数g(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数g(x)在区间[
π
8
4
]
上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.

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学校从高一各班随机抽取了部分同学参加了一次安全知识竞赛,其中某班参赛同学的成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分,如图所示,据此解答下列问题:

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已知函数f(x)=sin(x+θ)cos(x+
π
3
)为偶函数,则θ的值可以为(  )
A、
π
6
B、
π
3
C、-
π
6
D、-
π
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

若不等式
1
x2-1
+x2+λ>0对于x∈(-∞,-1)恒成立,则实数λ的取值范围是
 

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