Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），过F₂作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若△ABF₁内切圆的半径为a，则此双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{24-8\sqrt{5}}-\frac{{y}^{2}}{384-128\sqrt{5}}$=1．

Answer 1

分析 欲求双曲线的离心率，只须建立a，c的关系式即可，由双曲线的定义得：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，从而△ABF₁周长为：2|AB|+4a，利用△ABF₁内切圆的半径为a，得到△ABF₁面积为：S=$\frac{1}{2}$（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a，又S=$\frac{1}{2}$|AB|×2c，由面积相等即可建立a，c的关系，进而求出a，b，即可求得此双曲线的方程．

解答 解：由双曲线的定义得：
|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a两式相加得：|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
又在双曲线中，|AB|=2×$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴△ABF₁周长为：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=2|AB|+4a=4×$\frac{{b}^{2}}{a}$+4a，
∵△ABF₁内切圆的半径为a，
∴△ABF₁面积为：S=$\frac{1}{2}$（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a
又S=$\frac{1}{2}$|AB|×2c，
∴$\frac{1}{2}$（4×$\frac{{b}^{2}}{a}$+4a）×a=$\frac{1}{2}$|AB|×2c
即c²-a²=ac
∵c=4，
∴a²+4a-16=0，
∴a=2$\sqrt{5}$-2，
∴b=8$\sqrt{5}$-8，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{24-8\sqrt{5}}-\frac{{y}^{2}}{384-128\sqrt{5}}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{24-8\sqrt{5}}-\frac{{y}^{2}}{384-128\sqrt{5}}$=1．

点评 本题考查双曲线的离心率和三角形内切圆的性质，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘，注意应用三角形面积的不同计算方法建立关于a，b，c的等式求a．