Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b²=ac，且a²-c²=ac-bc
（1）求∠A的大小；
（2）设f(x)=cos(ωx-

A

2

)+sin(ωx)(ω＞0)且f（x）的最小正周期为π，求f(x)在[0，

π

2

]的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用已知两个等式以及余弦定理直接推出cosA的值，可求出A的大小；
（2）利用两角和与差的余弦函数以及两角和与差的正弦函数化简函数的表达式，通过x的范围求出相位的范围，然后求出函数的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵b²=ac，且a²-c²=ac-bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴cosA=

1

2

，
又A是三角形的内角，故A=

π

3

．
（2）因为f(x)=cos(ωx-

A

2

)+sin(ωx)
=cos(ωx-

π

6

)+sin(ωx)
=

3

2

cosωx+

1

2

sinωx+sinωx
=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx
=

3

sin（ωx+

π

6

），因为f（x）的最小正周期为π，所以ω=2，
函数解析式为：f（x）=

3

sin（2x+

π

6

），
x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，当x=

π

6

时，函数的最大值为

3

．

点评：本题考查三角形中的余弦定理，考查余弦定理与三角恒等变换公式，两角和与差的三角函数，本题是解三角形中综合性较强的一道题．