【题目】设函数(其中
).
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,讨论函数
的零点个数.
【答案】(1)答案见解析;(2)函数在定义域
上有且只有一个零点.
【解析】试题分析:(1)由题意得函数函数的定义域,对函数
求导,再对
进行分类讨论,根据
与
,可得函数
的单调区间;(2)依题意得
,结合第一问的单调性,结合函数的图象,从两个方面考虑函数的变化趋势,
或
时,从而可得零点的个数.
试题解析:(1)函数的定义域为
,
,
①当时,令
,解得
.
∴的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
②当时,令
,解得
或
.
∴在
和
上单调递增,在
上单调递减.
③当时,
,
在
上单调递增.
④当时,令
,解得
或
,所以
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
(2),①当
时,由(1)知,当
时,
,此时
无零点,当
时,
.
又∵在
上单调递增
∴在
上有唯一的零点
∴函数在定义域
上有唯一的零点,
②当时,由(1)知,当
时,
,此时
无零点;当
时,
,
.
令,则
,
∵在
上单调递增,
,
∴在
上单调递增,得
,即
.
∴在
上有唯一的零点,故函数
在定义域
上有唯一的零点.
综合①②知,当时函数
在定义域
上有且只有一个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”性别有关?
参考公式,其中
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知圆:
,过
且与圆
相切的动圆圆心为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设过点的直线
交曲线
于
,
两点,过点
的直线
交曲线
于
,
两点,且
,垂足为
(
,
,
,
为不同的四个点).
①设,证明:
;
②求四边形的面积的最小值.
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【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
(
)的左焦点为
,离心率为
,过点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点的直线与椭圆相交于不同两点
、
,求
面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的方程是
,曲线
的参数方程是
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线与曲线
的极坐标方程;
(2)若射线与曲线
交于点
,与直线
交于点
,求
的取值范围.
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【题目】为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本,其中城镇户籍与农民户籍各50人;男性60人,女性40人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关
C. 倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同
D. 倾向选择生育二的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若曲线与曲线
在公共点处有共同的切线,求实数
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试问函数是否有零点?如果有,求出该零点;若没有,请说明理由.
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【题目】已知点在椭圆
上,
为椭圆
的右焦点,
分别为椭圆
的左,右两个顶点.若过点
且斜率不为0的直线
与椭圆
交于
两点,且线段
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与
相交于点
,证明:
三点共线.
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