Question

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点
（ I）求证：BD⊥平面EFC；
（Ⅱ）当AD=CD=BD=1，且EF⊥CF时，求三棱锥C-ABD的体积V_C-ABD．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）△ABD中，根据中位线定理，得EF∥AD，结合AD⊥BD得EF⊥BD．再在等腰△BCD中，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理，得出BD⊥面EFC；
（Ⅱ）确定CF⊥平面ABD，S_△ABD=

1

2

，利用体积公式，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：∵△ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．
∵△BCD中，CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC；
（Ⅱ）解：∵CB=CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD，
∵EF⊥CF，EF∩BD=F，
∴CF⊥平面ABD，
∵CB=CD=BD=1，
∴CF=

3

2

，
∵AD=BD=1，AD⊥BD，
∴S_△ABD=

1

2

，
∴V_C-ABD=

1

3

×

1

2

×

3

2

=

3

12

．

点评：本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥C-ABD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．