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【题目】已知椭圆C: 的一个焦点为F(3,0),其左顶点A在圆O:x2+y2=12上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:x=my+3(m≠0)交椭圆C于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N1(点N1与点M不重合),且直线N1M与x轴的交于点P,试问△PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵椭圆C的左顶点A在圆x2+y2=12上,∴

又∵椭圆的一个焦点为F(3,0),∴c=3∴b2=a2﹣c2=3

∴椭圆C的方程为


(2)解:设M(x1,y1),N(x2,y2),则直线与椭圆C方程联立

化简并整理得(m2+4)y2+6my﹣3=0,

由题设知N1(x2,﹣y2)∴直线NM的方程为

令y=0得 =

∴点P(4,0)

=

= (当且仅当 时等号成立),

∴△PMN的面积存在最大值,最大值为1


【解析】(1)由椭圆C的左顶点A在圆x2+y2=12上,求得a,由椭圆的一个焦点得c=3,由b2=a2﹣c2得b,即可.(2)由题意,N1(x2 , ﹣y2),可得直线NM的方程,令y=0,可得点P的坐标为(4,0). 利用△PMN的面积为S= |PF||y1﹣y2|,化简了基本不等式的性质即可得出.

练习册系列答案
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【题目】为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对100名五年级学生进行了问卷调查,得到如下2×2列联表,平均每天喝500ml以上为常喝,体重超过50kg为肥胖.

不常喝

常喝

合计

肥胖

x

y

50

不肥胖

40

10

50

合计

A

B

100

现从这100名儿童中随机抽取1人,抽到不常喝碳酸饮料的学生的概率为
(1)求2×2列联表中的数据x,y,A,B的值;
(2)根据列联表中的数据绘制肥胖率的条形统计图,并判断常喝碳酸饮料是否影响肥胖?
(3)是否有99.9%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由. 附:参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
临界值表:

P(K2≥k)

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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A.a>b>c
B.c>a>b
C.c>b>a
D.a>c>b

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(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1

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A.4
B.
C.8
D.

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(Ⅲ)在频率分布直方图的市场需求量分组中,以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值,并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如x∈[100,110),则取x=105,且x=105的概率等于市场需求量落入100,110)的频率),求T的分布列及数学期望E(T).

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