【题目】已知椭圆C: 的一个焦点为F(3,0),其左顶点A在圆O:x2+y2=12上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:x=my+3(m≠0)交椭圆C于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为N1(点N1与点M不重合),且直线N1M与x轴的交于点P,试问△PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵椭圆C的左顶点A在圆x2+y2=12上,∴
又∵椭圆的一个焦点为F(3,0),∴c=3∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆C的方程为
(2)解:设M(x1,y1),N(x2,y2),则直线与椭圆C方程联立
化简并整理得(m2+4)y2+6my﹣3=0,
∴ ,
由题设知N1(x2,﹣y2)∴直线NM的方程为
令y=0得 = ,
∴点P(4,0)
=
= (当且仅当 即 时等号成立),
∴△PMN的面积存在最大值,最大值为1
【解析】(1)由椭圆C的左顶点A在圆x2+y2=12上,求得a,由椭圆的一个焦点得c=3,由b2=a2﹣c2得b,即可.(2)由题意,N1(x2 , ﹣y2),可得直线NM的方程,令y=0,可得点P的坐标为(4,0). 利用△PMN的面积为S= |PF||y1﹣y2|,化简了基本不等式的性质即可得出.
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【题目】为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对100名五年级学生进行了问卷调查,得到如下2×2列联表,平均每天喝500ml以上为常喝,体重超过50kg为肥胖.
不常喝 | 常喝 | 合计 | |
肥胖 | x | y | 50 |
不肥胖 | 40 | 10 | 50 |
合计 | A | B | 100 |
现从这100名儿童中随机抽取1人,抽到不常喝碳酸饮料的学生的概率为
(1)求2×2列联表中的数据x,y,A,B的值;
(2)根据列联表中的数据绘制肥胖率的条形统计图,并判断常喝碳酸饮料是否影响肥胖?
(3)是否有99.9%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由. 附:参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
临界值表:
P(K2≥k) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知函数F(x)=xf(x),f(x)满足f(x)=f(﹣x),且当x∈(﹣∞,0]时,F'(x)<0成立,若 ,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.c>a>b
C.c>b>a
D.a>c>b
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠ABC=120°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F. (Ⅰ)求证:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=PD=AD=2,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值.
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【题目】将三项式(x2+x+1)n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式: (x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
…
观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数(不足3数的,缺少的数计为0)之和,第k行共有2k+1个数.若在(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为 .
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【题目】在锐角三角形ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值是( )
A.4
B.
C.8
D.
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【题目】在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为 (t为参数,a>0)以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为 .
(Ⅰ)设P是曲线C上的一个动点,当a=2时,求点P到直线l的距离的最小值;
(Ⅱ)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=1﹣ ,其中n∈N* .
(Ⅰ)设bn= ,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式an;
(Ⅱ)设Cn= ,数列{CnCn+2}的前n项和为Tn , 是否存在正整数m,使得Tn< 对于n∈N*恒成立,若存在,求出m的最小值,若不存在,请说明理由.
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【题目】随着经济模式的改变,微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内,每售出1吨该商品可获利润0.5万元,未售出的商品,每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品.现以x(单位:吨,100≤x≤150)表示下一个销售季度的市场需求量,T(单位:万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润. (Ⅰ)视x分布在各区间内的频率为相应的概率,求P(x≥120)
(Ⅱ)将T表示为x的函数,求出该函数表达式;
(Ⅲ)在频率分布直方图的市场需求量分组中,以各组的区间中点值(组中值)代表该组的各个值,并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率(例如x∈[100,110),则取x=105,且x=105的概率等于市场需求量落入100,110)的频率),求T的分布列及数学期望E(T).
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