Question

【题目】已知椭圆C： 的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x2+y2=12上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合），且直线N1M与x轴的交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C的左顶点A在圆x2+y2=12上，∴

又∵椭圆的一个焦点为F（3，0），∴c=3∴b2=a2﹣c2=3

∴椭圆C的方程为

（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则直线与椭圆C方程联立

化简并整理得（m2+4）y2+6my﹣3=0，

∴ ，

由题设知N1（x2，﹣y2）∴直线NM的方程为

令y=0得 = ，

∴点P（4，0）

=

= （当且仅当 即 时等号成立），

∴△PMN的面积存在最大值，最大值为1

【解析】（1）由椭圆C的左顶点A在圆x2+y2=12上，求得a，由椭圆的一个焦点得c=3，由b2=a2﹣c2得b，即可．（2）由题意，N1（x2 ， ﹣y2），可得直线NM的方程，令y=0，可得点P的坐标为（4，0）． 利用△PMN的面积为S= |PF||y1﹣y2|，化简了基本不等式的性质即可得出．