Question

（2010•宝山区模拟）双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一点(2，

3

)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁，F₂是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF₁|+|PF₂|=6，求△PF₁F₂的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若

OP

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一点(2，

3

)到左，右两焦点距离的差为2．知a=1，把点(2，

3

)代入，得b=1．由此能求出双曲线方程．
（2）设P在第一象限，则

|PF1| -|PF2|=2 |PF1| +|PF2|=6

，解得|PF₁|=4，|PF₂|=2，由此能求了△PF₁F₂的面积．
（3）若直线斜率存在，设为y=k（x+2），代入x²-y²=1，得（1-（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0（k≠±1），若平行四边形OAPB为矩形，则OA⊥OB，由此能求出不存在直线l，使OAPB为矩形．

解答：解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一点(2，

3

)到左，右两焦点距离的差为2．
∴a=1，双曲线方程为x2-

y2

b2

=1，
把点(2，

3

)2，

3

）代入，得b=1．
∴双曲线方程为：x²-y²=1．
（2）设P在第一象限，则

|PF1| -|PF2|=2 |PF1| +|PF2|=6

，
解得|PF₁|=4，|PF₂|=2，
∴cos∠F1PF2=

3

4

，
∴sin∠F1PF=

7

4

，
∴△PF₁F₂的面积S=

7

．
（3）若直线斜率存在，设为y=k（x+2），代入x²-y²=1，
得（1-（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0（k≠±1），
若平行四边形OAPB为矩形，则OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

k2+1

k2-1

=0无解．
若直线垂直x轴，则A（-2，

3

），B（-2，

3

）不满足．
故不存在直线l，使OAPB为矩形．

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．