Question

函数y=f（x）的值域是[-1，2]，则函数y=-f²（x-1）+2f（x-1）的值域为 ________．

Answer 1

[-3，1]
分析：由函数y=f（x）的值域是[-1，2]，知f（x-1）的值域也是[-1，2]，而函数y=-f²（x-1）+2f（x-1）是f（x-1）的二次函数，求y的值域就化为求二次函数在一闭区间上的最值问题．
解答：由题意，函数y=-f²（x-1）+2f（x-1）=-[f（x-1）-1]²+1，
∵函数y=f（x）的值域是[-1，2]，
得-1≤f（x-1）≤2，
则-2≤f（x-1）-1≤1，
∴0≤[f（x-1）-1]²≤4，
∴-4≤-[f（x-1）-1]²≤0，
∴-3≤-[f（x-1）-1]²+1≤1；
所以函数y的值域为[-3，1]．
故答案为：[-3，1]
点评：本题的关键是知函数f（x-1）的值域与函数y=f（x）的值域，因为它们的定义域相同，对应法则也相同；然后是求二次函数在一闭区间上的值域问题；是基础题．