Question

考察以下命题：
①若|a|＜1，则无穷数列{a_n} n∈N^*，各项的和为
②函数y=在R上连续可导；
③函数y=在R上连续
④函数y=x³+3ax²+3bx在x=0个有极值的充要条件是a≠0，b=0
其中真命题的序号为________．

Answer 1

③④
分析：①当a=0时不符合题意．②因为y′=，所以函数在x=0处得导数不存在．③由题意可得函数在每一段上连续，当x=0时，e^-x-1=0，2ax=0．④由题得：y′|x=0=0，并且在x=0两边的符号不同，所以a≠0，b=0．
解答：①当a=0时不符合题意，所以①错误．
②因为函数y=，所以y′=，所以函数在x=0处得导数不存在，所以②错误．
③由题意可得函数在每一段上连续，又因为当x=0时，e^-x-1=0，2ax=0，所以函数连续，所以③正确．
④由题得：y′=3x²+2ax+3b，因为函数在x=0个有极值，所以y′|x=0=0，并且在x=0两边的符号不同，所以a≠0，b=0，所以④正确．
故答案为：③④．
点评：积极此类问题的关键是数列掌握无穷递缩等比数列，以及函数的连续性与 函数在某点取得极值的充要条件．