Question

10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，侧面BB₁A₁是正方形，D，E分别为A₁B₁和BB₁的中点．求证：A₁E⊥平面AC₁D．

Answer 1

分析 取AB的中点O为原点，分别以OB，OC，OD为正方向建立空间直角坐标系，由侧面BB₁A₁是正方形，设其边长为1，则可得：A，A₁，D，E的坐标，可求$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{{A}_{1}E}$的坐标，由$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{A}_{1}E}$=$\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}$=0，可得：AD⊥A₁E，又C₁D⊥A₁E，即可证明A₁E⊥平面AC₁D．

解答 解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，故CO⊥AB，
如图，取AB的中点O为原点，分别以OB，OC，OD为正方向建立空间直角坐标系，
由侧面BB₁A₁是正方形，设其边长为1，则可得：O（0，0，0），A（-$\frac{1}{2}$，0，0），A₁（-$\frac{1}{2}$，0，1），D（0，0，1），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
所以，$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{2}$，0，1），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
由$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{A}_{1}E}$=$\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}$=0，可得：AD⊥A₁E，
又C₁D⊥侧面ABB₁A₁，A₁E?侧面ABB₁A₁，可得：C₁D⊥A₁E，
由AD∩C₁D=D，可得：A₁E⊥平面AC₁D．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，证明AD⊥A₁E，是解题的关键，属于中档题．