Question

18．己知函数f（x）与它的导函数f'（x）满足x²f'（x）+xf（x）=lnx，且f（e）=$\frac{1}{e}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）在区间（0，+∞）上是减函数
• B． f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
• C． f（x）在区间（0，+∞）上先增后减
• D． f（x）在区间（0，+∞）上是先减后增

Answer 1

分析 由题意知[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，从而由积分可知xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，从而解得f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，从而再求导判断函数的单调性．

解答 解：∵x²f′（x）+xf（x）=lnx，
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
∴xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，
又∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴e•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2}$+c，
故c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=$\frac{2lnx•\frac{1}{x}•x-（l{n}^{2}x+1）}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（lnx-1）^{2}}{2{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
故选A．

点评 本题考查了导数的综合应用及积分的应用．