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【题目】已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆与直线相切于点

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若直线 与椭圆相交于两点( 不是长轴端点),且以为直径的圆过椭圆轴正半轴上的顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.

【答案】(1) ;(2)答案见解析.

【解析】试题分析:(1)利用点在椭圆上及相切关系布列方程组,即可解得椭圆的标准方程;

(2)联立方程易得: 为直径的圆过椭圆轴正半轴上的顶点,即,经检验得到结果.

试题解析:

法一(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为

在椭圆上,∴

∵椭圆与直线相切,∴

由①②知

故所求椭圆方程为

法二:设椭圆为 )则它在点处的切线为,它与表示同一直线,∴

故所求椭圆方程为.

(Ⅱ)设 ,联立

因为以为直径的圆过椭圆的上顶点

时,直线过定点与已知矛盾

时,直线过定点满足

所以,直线过定点,定点坐标为

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甲说:“我或乙能中奖”; 乙说:“丁能中奖”;

丙说:“我或乙能中奖”; 丁说:“甲不能中奖”.

游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是( )

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