【题目】如图所示,某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场(ABCDEF围成的封闭区域)用来养殖牛和羊,其中AF=1,AB=10,BC=4,CD=7(单位:百米),DEF是一段曲线形马路.该牧场的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域,该区域用来养殖羊,其余区域养殖牛,且MP=PQ,牧场大门位于马路DEF上的M处,一个观察点P位于AB的中点处,为了能够更好观察动物的生活情况,现决定修建一条观察通道,起点位于距离观察点P处1百米的O点所示位置,终点位于Q处.如图2所示,建立平面直角坐标系,若满足.
(1)求的解析式;
(2)求观察通道OQ长度的最小值.
【答案】(1)(2)百米
【解析】
(1)依题意求出点,,,代入解析式即可求解;
(2)过点M,Q分别作x轴的垂线,垂足为,,可得,
再对分类讨论,利用导数及二次函数的性质求出最小值;
解:(1)因为AB=10,P是AB的中点,所以AP=5,
又OP=1,所以AO=4,所以,,
因为CD=7,BC=4,AF=1所以,
由得,k=-4,所以.
故,又,所以解得,
所以
(2)过点M,Q分别作x轴的垂线,垂足为,,
则,
又因为PM⊥PQ,所以
所以,又因为PM=PQ,所以,
所以,由,可得,
①若,设,则,
.
令,则
,因为,所以
所以在上单调减,所以
设,则在上单调减
所以,所以
②若,设,则,
,
在上单调递减,所以时,,
所以OQ的长度的最小值为百米.
答:观察通道OQ的长度的最小值为百米
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【题目】已知抛物线过点
(1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标与准线方程;
(2)直线与抛物线交于不同的两点,过点作轴的垂线分别与直线,交于,两点,其中为坐标原点.若为线段的中点,求证:直线恒过定点.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1ABAC2,AB⊥AC,M是棱BC的中点点P在线段A1B上.
(1)若P是线段A1B的中点,求直线MP与直线AC所成角的大小;
(2)若是的中点,直线与平面所成角的正弦值为,求线段BP的长度.
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【题目】已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.
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【题目】已知圆O:x2+y2=3,直线PA与圆O相切于点A,直线PB垂直y轴于点B,且|PB|=2|PA|.
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)过点(1,0)且与x轴不重合的直线与轨迹E相交于P,Q两点,在x轴上是否存在定点D,使得x轴是∠PDQ的角平分线,若存在,求出D点坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】在直四棱柱中,底面是边长为6的正方形,点在线段上,且满足,过点作直四棱柱外接球的截面,所得的截面面积的最大值与最小值之差为,则直四棱柱外接球的半径为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,大摆锤是一种大型游乐设备,常见于各大游乐园.游客坐在圆形的座舱中,面向外.通常大摆锤以压肩作为安全束缚,配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时,悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.今年五一,小明去某游乐园玩“大摆锤”,他坐在点A处,“大摆锤”启动后,主轴在平面内绕点O左右摆动,平面与水平地面垂直,摆动的过程中,点A在平面内绕点B作圆周运动,并且始终保持,.已知,在“大摆锤”启动后,给出下列结论:
①点A在某个定球面上运动;
②线段在水平地面上的正投影的长度为定值;
③直线与平面所成角的正弦值的最大值为;
④与水平地面所成角记为,直线与水平地面所成角记为,当时,为定值.
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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