【题目】在棱长为2的正方体中,点M是对角线
上的点(点M与A、
不重合),则下列结论正确的个数为( )
①存在点M,使得平面平面
;
②存在点M,使得平面
;
③若的面积为S,则
;
④若、
分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点M,使得
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
平面与平面
为同一平面,证明
平面
即可判断①;由证明平面
平面
判断②;连接
交
于点O,当
时可得
,利用相似可得
,进而求得
的最小面积,即可判断③;分别判断点
从
的中点向着点A运动的过程中,
、
的范围,进而判断④.
连接,
,
设平面与对角线
交于M,由
,
可得
平面
,即
平面
,所以存在点M,使得平面
平面
,所以①正确;
连接,
,
由,
,利用平面与平面平行的判定,可证得平面
平面
,设平面
与
交于M,可得
平面
,所以②正确;
连接交
于点O,过O点作
,
在正方体中,
平面
,所以
,所以OM为异面直线
与
的公垂线,根据
,所以
,即
,
所以的最小面积为
,
所以若的面积为S,则
,所以③不正确;
在点从
的中点向着点A运动的过程中,
从1减少趋向于0,即
,
从0增大到趋向于2,即
,在此过程中,必存在某个点
使得
,所以④是正确的,
综上可得①②④是正确的,
故选:C
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【题目】《九章算术·均输》中有如下问题:“今有五人分十钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( )
A.钱B.
钱C.
钱D.
钱
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【题目】已知函数f(x)=(k+)lnx+
,k∈[4,+∞),曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切线互相平行,则x1+x2的取值范围为
A. (,+∞) B. (
,+∞) C. [
,+∞) D. [
,+∞)
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【题目】如图,在平面四边形中,
等边三角形,
,以
为折痕将
折起,使得平面
平面
.
(1)设为
的中点,求证:
平面
;
(2)若与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】椭圆的左、右焦点分别为
,右顶点为A,上顶点为B,且满足向量
。
(1)若,求椭圆的标准方程;
(2)设为椭圆上异于顶点的点,以线段PB为直径的圆经过F1,问是否存在过F2的直线与该圆相切?若存在,求出其斜率;若不存在,说明理由。
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【题目】已知椭圆的左焦点为
,离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为坐标原点,
为直线
上一点,过
作
的垂线交椭圆于
、
.当四边形
是平行四边形时,求四边形
的面积.
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【题目】某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为,以下结论中不正确的为
A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系,
C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米,
D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米,
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