Question

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数，
（1）如果函数y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）研究函数f(x)=x2+

a

x2

（常数a＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）若把函数f(x)=x2+

a

x2

（常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据题意，易得由已知，函数y=x+

3m

x

(x＞0)在(0，

3m

]上是减函数，在[

3m

，+∞)上是增函数，则该函数当x=

3m

时，取得最小值，有题意知其最小值为6，可得2

3m

=6，解可得答案；
（2）根据题意，求得f(x)=x2+

a

x2

的定义域为x≠0，再令t=x²，x≠0，有t＞0，则y=t+

a

t

，那么该函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数，而t=x²在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
由复合函数的单调性分析可得答案；
（3）由（2）的结论，分可

4	a

＞2、1≤

4	a

≤2、

4	a

＜1三种情况讨论，分别得到g（a）的表达式，即可得答案．

解答：解：（1）由已知，函数y=x+

3m

x

(x＞0)在(0，

3m

]上是减函数，在[

3m

，+∞)上是增函数，
∴ymin=

3m

+

3m

3m

=2

3m

∴2

3m

=6，3^m=9
因此m=2．
（2）根据题意，f(x)=x2+

a

x2

，x≠0，
令t=x²，x≠0，则t＞0，
故y=t+

a

t

，那么该函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数，
而t=x²在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
由复合函数的单调性，
当(0，

4	a

]时，t=x²递增，t在(0，

a

]上，则y=t+

a

t

是减函数，故f（x）在(0，

4	a

]上是减函数，
当x∈[

4	a

，+∞)时，t=x²递增，t在[

a

，+∞)上，则y=t+

a

t

是增函数，故f（x）在[

4	a

，+∞)上是增函数，
当x∈(-∞，-

4	a

]，t=x²递减，t在[

a

，+∞)上，则y=t+

a

t

是增函数，故f（x）在[

4	a

，+∞)上是减函数，
当x∈(0，

4	a

]，t=x²递减，t在(0，

a

]上，则y=t+

a

t

是减函数，故f（x）在[

4	a

，+∞)上是增函数，
因此f（x）在(-∞，-

4	a

]，(0，

4	a

]上是减函数，在[-

4	a

，0)，[

4	a

，+∞)上是增函数．
（3）由（2）知，f（x）在(0，

4	a

]上是减函数，在[

4	a

，+∞)上是增函数，
于是当

4	a

＞2，即a＞16时，g(a)=f(2)=4+

a

4

，
当1≤

4	a

≤2，即1≤a≤16时，g(a)=f(

4	a

)=2

a

，
当

4	a

＜1，即0＜a＜1时，g（a）=f（1）=1+a．          
因此g(a)=

1+a  (0＜a＜1) 2 a   (1≤a≤16) 4+ a 4   (a＞16)

．

点评：本题考查函数单调性的运用，解题的关键在于紧扣题干所给函数的单调性的性质，并利用其解题．