Question

8．函数f（x）=k•a^x（k，a为常数，a＞0且a≠1的图象经过点A（0，1）和B（3，8），g（x）=$\frac{f（x）-1}{f（x）+1}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试判断g（x）的奇偶性；
（Ⅲ）记a=g（ln2）、b=g（ln（ln2））、c=g（ln$\sqrt{2}$），d=g（ln²2），试比较a，b，c，d的大小，并将a，b，c，d从大到小顺序排列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将A，B的坐标代入f（x），解方程可得a，k，进而得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）运用奇偶性的定义，求出定义域，求得g（-x）是否等于±g（x），进而判断g（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判断g（x）是定义在R上的增函数，运用对数函数的单调性，即可得到a，b，c，d的大小．

解答 解：（Ⅰ）代入A（0，1）和B（3，8）中得
k•a⁰=1，且k•a³=8，解得k=1，a=2，
即有f（x）=2^x；                 
（Ⅱ）∵g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴$g（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=-g（x）$，
又2^x+1≠0，x∈R，
∴g（x）是定义在R上的奇函数．
（Ⅲ）∵$g（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$
∴g（x）是定义在R上的增函数，
又∵$ln\sqrt{e}＜ln2＜lne$，
∴$\frac{1}{2}＜ln2＜1$，$\frac{1}{2}ln2＜{ln^2}2＜ln2$，
又ln（ln2）＜0，
∴$ln2＞{ln^2}2＞ln\sqrt{2}＞ln（{ln2}）$．                   
$g（{ln2}）＞g（{{{ln}^2}2}）＞g（{ln\sqrt{2}}）＞g（{ln（{ln2}）}）$，
即a＞d＞c＞b．

点评 本题考查指数函数的单调性和运用，同时考查函数的奇偶性的判断，对数函数的单调性的运用，考查对数的化简运算，属于中档题．