Question

（2012•江西模拟）在各项均为正数的等比数列{a_n}中，(a1+a3)(a5+a7)=4

a

2 4

，则下列结论中正确的是（　　）

A．数列{a_n}是递增数列

B．数列{a_n}是递减数列

C．数列{a_n}是常数列

D．数列{a_n}有可能是递增数列也有可能是递减数列

Answer 1

分析：由条件利用等比数列的定义和性质可得 a32+a52=2 a42，设公比为q，则得 a12q⁴+a12q⁸=2a12q⁶，求得 q²=1，q=1，由此得出结论．

解答：解：各项均为正数的等比数列{a_n}中，∵(a1+a3)(a5+a7)=4

a

2 4

 成立，即 a₁a₅+a₁a₇+a₃a₅+a₃a₇=4a42成立．
利用等比数列的定义和性质化简可得 a32+a42+a42+a52=4a42，进一步化简得 a32+a52=2 a42．
设公比为q，则得 a12q⁴+a12q⁸=2a12q⁶，化简可得 1+q⁴=2q²，即 （q²-1）²=1，
∴q²=1，故q=1．（由于各项均为正数的等比数列，故q=-1舍去）
故此等比数列是常数列，
故选 C．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，求得 q²=1，是解题的关键，属于中档题．