Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，且知当x=-1时取得极大值7，当x=3取得极小值，试求f（x）的极小值，并求a、b、c的值．

Answer 1

解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，∴f'（x）=3x²+2ax+b．
∵当x=-1时，函数取得极大值，x=3时，函数取得极小值．
∴-1，3是方程f'（x）=0的根，即-1，3为方程3x²+2ax+b=0的两根．
∴∴，
∴f（x）=x³-3x²-9x+c．
∵当x=-1时取得极大值7，
∴（-1）³-3（-1）²-9（-1）+c=7，
∴c=2．
∴函数f（x）的极小值为f（3）=3³-3×3²-9×3+2=-25．
分析：先求导函数，根据当x=-1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，可知-1，3是方程f'（x）=0的根，从而可得到关于a，b的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，即可求出c的值．因为函数在x=3处有极小值，所以把x=3代入原函数，求出的函数值即为函数的极小值．
点评：本题以函数为载体，考查导数在求函数的极值中的应用．理解极值与导数的对应关系及极值的判断规则是解题的关键．