Question

11．函数y=x+$\frac{5}{x+1}$（x≥2）取得最小值时的x的值为（　　）

• A． $\sqrt{5}-1$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 先将函数配成（x+1）+$\frac{5}{x+1}$的形式，再运用基本不等式最值，根据取等条件得到函数的单调区间，从而确定x的值．

解答 解：y=x+$\frac{5}{x+1}$=（x+1）+$\frac{5}{x+1}$-1，
∵（x+1）+$\frac{5}{x+1}$≥2$\sqrt{5}$，
∴当且仅当：x=$\sqrt{5}$-1时，取得最小值，
所以，函数y在x∈[$\sqrt{5}$-1，+∞）上单调递增，x∈（-1，$\sqrt{5}$-1）上递减，
由于x≥2，所以，函数y=x+$\frac{5}{x+1}$在区间[2，+∞）上单调递增，
因此，当x=2时，函数取得最小值$\frac{11}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了运用基本不等式求函数的最值，以及取等条件和单调性的分析，属于基础题．