Question

对于函数 f（x），若存在x₀∈R，使 f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的“滞点”．已知函数f （ x ）=

x2

2x-2

．
（I）试问f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；
（II）已知数列{a_n}的各项均为负数，且满足4Sn•f(

1

an

)=1，求数列{a_n}的通项公式；
（III）已知b_n=a_n•2ⁿ，求{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由f(x)=

x2

2(x-1)

，令f（x）=x，得x²-2x=0，解得x=0，或x=2．由此知f（x）存在两个滞点0和2．
（II）由题得4Sn•(

1

an

)2=2(

1

an

-1)，所以2S_n=a_n-a_n²，故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²，
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0∵a_n＜0∴a_n+1-a_n=-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（III）由T_n=-1•2-2•2²-3•2³-…-n•2ⁿ，知2T_n=-1•2²-2•2³-3•2⁴-…-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹．由此能求出{b_n}的前项和T_n．

解答：解：（I）由f(x)=

x2

2(x-1)

，
令f（x）=x，…（2分）
得x²-2x=0，解得x=0，或x=2．
即f（x）存在两个滞点0和2．…（4分）
（II）由题得4Sn•(

1

an

)2=2(

1

an

-1)，
∴2S_n=a_n-a_n²…①…（5分）
故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²…②
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0，
∵a_n＜0，
∴a_n+1-a_n=-1，
即{a_n}是等差数列，且d=-1…（9分）
当n=1时，由2S₁=a₁-a₁²=2a₁得a₁=-1
∴a_n=-n…（11分）
（III）∵T_n=-1•2-2•2²-3•2³-…-n•2ⁿ…③
∴2T_n=-1•2²-2•2³-3•2⁴-…-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹…④
由④-③得T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1…（14分）

点评：本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的灵活运用．