Question

13．设向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-2sinx），$\overrightarrow{b}$=$（3cosx，\sqrt{3}cosx）$，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的单调增区间和图象的对称中心坐标；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（C）=0，c=1，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+3，利用余弦函数的图象和性质即可求解函数f（x）的单调增区间和图象的对称中心坐标；
（2）由f（C）=0，且C为锐角，由余弦函数的图象可求C，由正弦定理可解得a+b=2sin（A+$\frac{π}{6}$），求得A的范围，利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（1）$f（x）=6{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx=2\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{6}）+3$，
所以由2x+$\frac{π}{6}$∈[2kπ-π，2kπ]，k∈Z可解得f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{7π}{12}，kπ-\frac{π}{12}]（k∈Z）$，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得对称中心为：$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，3）（k∈Z）$．
（2）由f（C）=0，得$cos（2C+\frac{π}{6}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵C为锐角，
∴$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，$C=\frac{π}{3}$．
由正弦定理得，a+b=$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{sinA+sinB}{sinC}=\frac{{sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）}}{{sin\frac{π}{3}}}$=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）=2sin（A+\frac{π}{6}）$∴△ABC是锐角三角形，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$．
所以$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
从而a+b的取值范围为$（\sqrt{3}，2]$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数，余弦函数的图象和性质，考查了正弦定理在解三角形中的应用，综合性较强，属于中档题．