Question

（1）证明：cos（α-β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，cos(

π

4

+α)=

1

3

，cos(

π

4

-

β

2

)=

3

3

，求cos(α+

β

2

)的值．

Answer 1

分析：（1）在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．
则

OA

=（cosα，sinα），

OB

=(cosβ，sinβ)．利用数量积可得：

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ．
设

OA

与

OB

的夹角为θ，则

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cosθ=cosθ．另一方面，由α=2kπ+β+θ，或α=2kπ+β-θ．
α-β=2kπ±θ，k∈Z．即可证明．
（2）由于0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，cos(

π

4

+α)=

1

3

，cos(

π

4

-

β

2

)=

3

3

，利用“平方关系”可得sin(

π

4

+α)，sin(

π

4

-

β

2

)，变形cos(α+

β

2

)=cos[(

π

4

+α)-(

π

4

-

β

2

)]即可得出．

解答：（1）证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，
以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．
则

OA

=（cosα，sinα），

OB

=(cosβ，sinβ)．
则

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ．
设

OA

与

OB

的夹角为θ，则

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ．
另一方面，由α=2kπ+β+θ，或α=2kπ+β-θ．
∴α-β=2kπ±θ，k∈Z．
∴cos（α-β）=cosθ．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）解：∵0＜α＜

π

2

，cos(

π

4

+α)=

1

3

，∴

π

4

＜α+

π

4

＜

π

2

，∴sin(α+

π

4

)=

1-cos2(α+ π 4 )

=

2 2

3

．
∵-

π

2

＜β＜0，∴

π

4

＜

π

4

-β＜

3π

4

，∵cos(

π

4

-

β

2

)=

3

3

，∴sin(

π

4

-

β

2

)=

1-cos2( π 4 - β 2 )

=

6

3

．
∴cos(α+

β

2

)=cos[(

π

4

+α)-(

π

4

-

β

2

)]=cos(

π

4

+α)cos(

π

4

-

β

2

)+sin(

π

4

+α)sin(

π

4

-

β

2

)
=

1

3

×

3

3

+

2 2

3

×

6

3

=

5 3

9

．

点评：本题考查了利用数量积证明两角和的余弦公式、三角函数的基本关系式、拆分角等基础知识与基本技能方法，属于难题．