Question

已知动点M到定点F₁（-2，0）和F₂（2，0）的距离之和为4

2

．
（I）求动点M轨迹C的方程；
（II）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k₁、k₂，证明：k_l+k₂为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由椭圆的定义的动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时，直接求出A，B的坐标，则k₁、k₂可求，求出k_l+k₂=4，当斜率存在时，设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，写出斜率的和后代入A，B两点的横坐标的和与积，整理后得到k_l+k₂=4．从而证得答案．

解答：（Ⅰ）解：由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点，以4

2

为长轴长的椭圆．
由c=2，a=2

2

，得b²=a²-c²=8-4=4．
故曲线C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）证明：如图，
当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），
由

x2 8 + y2 4 =1 y+2=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4k(k-2)

1+2k2

，x1x2=

2k2-8k

1+2k2

．
从而k1+k2=

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=

2kx1x2+(k-4)(x1+x2)

x1x2

=2k-(k-4)

4k(k-2)

2k2-8k

=4．
当直线l的斜率不存在时，得A(-1，

14

2

)，B(-1，-

14

2

)．
得k_l+k₂=

14 2 -2

-1

+

- 14 2 -2

-1

=4．
综上，恒有k_l+k₂=4，为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，此类问题常用直线方程和圆锥曲线方程联立，利用一元二次方程的根与系数关系求解，考查了学生的计算能力，属难题．