分析 先求导数,$f′(x)=\frac{\frac{ax+1}{x+1}-aln(x+1)}{(ax+1)^{2}}$,根据f(x)在x∈(0,1)上单调递增便可得到$\frac{ax+1}{x+1}-aln(x+1)≥0$在x∈(0,1)上恒成立,进一步得到a[(x+1)ln(x+1)-x]在x∈(0,1)上恒成立.可判断函数g(x)=(x+1)ln(x+1)-x在(0,1)上单调递增,从而得到g(x)>0,这便可得出$a≤\frac{1}{(x+1)ln(x+1)-x}$,根据g(x)的单调性便可求出$\frac{1}{(x+1)ln(x+1)-x}>\frac{1}{2ln2-1}$,从而得到$a≤\frac{1}{2ln2-1}$;根据f(x)的单调性可以得出a$>-\frac{1}{x}$在(0,1)上恒成立,从而得到a≥-1,这样便可得出实数a的取值范围.
解答 解:$f′(x)=\frac{\frac{ax+1}{x+1}-aln(x+1)}{(ax+1)^{2}}$;
∵f(x)在x∈(0,1)上单调递增;
∴f′(x)≥0在x∈(0,1)上恒成立;
∴$\frac{ax+1}{x+1}-aln(x+1)≥0$在x∈(0,1)上恒成立;
∴ax+1-a(x+1)ln(x+1)≥0,即1≥a[(x+1)ln(x+1)-x]在x∈(0,1)上恒成立;
设g(x)=(x+1)ln(x+1)-x,g′(x)=ln(x+1);
∵x∈(0,1);
∴g′(x)>0;
∴g(x)在(0,1)上单调递增;
∴g(x)>g(0)=0;
即(x+1)ln(x+1)-x>0;
∴$a≤\frac{1}{(x+1)ln(x+1)-x}$在x∈(0,1)上恒成立;
g(0)<g(x)<g(1);
即0<(x+1)ln(x+1)-x<2ln2-1;
∴$\frac{1}{(x+1)ln(x+1)-x}>\frac{1}{2ln2-1}$;
∴$a≤\frac{1}{2ln2-1}$;
∵f(x)>f(0);
即$\frac{ln(x+1)}{ax+1}>0$;
∵x∈(0,1),ln(x+1)>0;
∴ax+1>0在x∈(0,1)上恒成立;
即$a>-\frac{1}{x}$在x∈(0,1)上恒成立;
0<x<1;
∴$\frac{1}{x}>1$,$-\frac{1}{x}<-1$;
∴a≥-1;
∴$-1≤a≤\frac{1}{2ln2-1}$;
∴实数a的取值范围为$[-1,\frac{1}{2ln2-1}]$.
故答案为:[$-1,\frac{1}{2ln2-1}$].
点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系,不等式的性质,以及增函数定义的运用,根据a>h(x)恒成立求a的范围的方法,不要漏了a≥-1的情况,注意正确求导.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | r为变量间的相关系数,|r|值越大,线性相关程度越高 | |
B. | 在平面直角坐标系中,可以用散点图发现变量之间的变化规律 | |
C. | 线性回归方程代表了观测值x、y之间的关系 | |
D. | 任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | b<a<c | B. | c<b<a | C. | c<a<b | D. | a<b<c |
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