Question

设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（I）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

bn

an

，求证数列{c_n}的前n项和T_n＜2．
（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数记为d_m，求数列{d_m}的前m项和T_m．

Answer 1

分析：（I）当n=1时，S₁=2a₁-2，a₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，容易试求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

，应用错位相消法求和
（Ⅲ）数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，所以数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数d_m=2^2m-1-2^m-1-1，分组后，再利用等比数列求和公式化简整理．

解答：解：（I）当n=1时，S₁=2a₁-2，a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，数列{a_n}是以2为为公比的等比数列，且首项a₁=2，
通项公式为an=2×2^n-1=2ⁿ，
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

T_n=

1

21

+

2

22

+…

n

2n

，两边同乘以

1

2

得

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…

n-1

2n

+

n

2n+1

两式相减得出

1

2

T_n=

1

21

+

1

22

+…

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

∴T_n＜2
（Ⅲ）数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，
所以数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数d_m=2^2m-1-2^m-1-1，
所以T_m．=

2(4m-1)

4-1

-

2m-1

2-1

-m=

1

3

×22m+1-2m-m+

1

3

点评：本题考查数列的递推公式，通项公式、数列求和．考查累加法，公式法、错位相消法的求和方法．考查计算能力．