Question

是否存在实数a，使得函数y=sin²x+acosx-1+

5

8

a在闭区间[0，

π

2

]上最大值为1？若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：首先把函数的一般式转化成顶点式，进一步对函数的对称轴和函数的定义域所在的区间进行讨论，最后求得结果．

解答： 解：函数y=sin²x+acosx-1+

5

8

a=-cos2x+acosx+

5a

8

=-（cosx-

a

2

)2²+

7a

8

由于0≤x≤

π

2

所以：0≤cosx≤1
由于函数是以

a

2

为对称轴的开口方向向下的抛物线．
①当

a

2

＞1时，即a＞2时，cosx=1时，函数ymax=-(1-

a

2

)2+

7a

8

=1
解得：a=

15± 97

4

（

15- 97

4

舍去）
②当0≤

a

2

≤1时，即0≤a≤2时，cosx=

a

2

时，函数ymax=

7a

8

=1
解得：a=

8

7

（适合）
③当

a

2

＜0时，即a＜0时，cosx=0时，函数ymax=-

a2

4

+

7a

8

=1
解得：a无解
则：a=

15+ 97

4

或

8

7

故存在a=

15+ 97

4

或

8

7

，使得函数y=sin²x+acosx-1+

5

8

a在闭区间[0，

π

2

]上最大值为1．

点评：本题考查的知识要点：复合函数的性质的应用，对称轴和函数的值域的关系．属于基础题型．