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若函数f(x)是定义在实数集上的奇函数,且f(x-2)=-f(x),给出下列结论:①f(2)=0;②f(x)以4为周期;③f(x)的图象关于y轴对称;④f(x+2)=f(-x).
这些结论中正确的有    .(必须填写序号)
【答案】分析:由题意,可先研究函数的 性质,再由函数的性质对四个命题①f(2)=0;②f(x)以4为周期;③f(x)的图象关于y轴对称;④f(x+2)=f(-x)真假,得出正确命题的序号.
解答:解:函数f(x)是定义在实数集上的奇函数,故有f(0)=0,
又f(x-2)=-f(x),故有f(x)=-f(x+2),由此得f(x+2)=f(x-2)故函数的周期为4
在f(x)=-f(x+2)中令x=0得,在f(0)=-f(2)=0可得 f(2)=0
又f(x)=-f(x+2)可变为f(x+2)=-f(x)由函数f(x)是定义在实数集上的奇函数可得f(x+2)=f(-x).
又奇函数的图象关于原点对称而非关于Y轴对称,故四个结论中正确的有①②④
故答案为①②④
点评:本题考查函数奇偶性的性质与函数的周期性,解题的关键是熟练掌握函数的奇函数的性质以及理解恒等式f(x-2)=-f(x),从而得出函数的周期,本题考查函数的基础概念,是近几年高考中常考的一种题型,一般出现在填空题的位置要注意探究此问题的解法规律
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