已知函数,其中
为常数.
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)若任取,求函数
在
上是增函数的概率.
(Ⅰ)函数的单调递增区间分别为
和
;(Ⅱ)函数
在
上是增函数的概率为
.
解析试题分析:(Ⅰ)求函数的单调递增区间,首先将
代入,我们易求出函数的解析式,从而求出函数的导函数后,令导函数的函数值大于等于0,由此构造关于
的不等式,解不等式即可得到函数
的单调递增区间;(Ⅱ)求函数
在
上是增函数的概率,这是一个几何概型问题,我们可以先画出
,对应的平面区域的面积,然后再求出满足条件函数
在
上是增函数时对应的平面区域的面积,计算出对应的面积后,代入几何概型公式即可得到答案.
试题解析:(1)当时,
,
令,
,解得
或
,
故函数的单调递增区间分别为
和
(2)
若函数在
上是增函数,则对于任意
,
恒成立.
所以,,即
8分
设“在
上是增函数”为事件
,则事件
对应的区域为
全部试验结果构成的区域,
所以,
故函数在
上是增函数的概率为
考点:利用导数研究函数的单调性;几何概型;概率的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知a,b为常数,a¹0,函数.
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)内的极值;
(2)①若a>0,b>0,求证:在区间[1,2]上是增函数;
②若,
,且
在区间[1,2]上是增函数,求由所有点
形成的平面区域的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数=
。
(1)当时,求函数
的单调增区间;
(2)求函数在区间
上的最小值;
(3)在(1)的条件下,设=
+
,
求证: (
),参考数据:
。(13分)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知.
(1)曲线y=f(x)在x=0处的切线恰与直线垂直,求
的值;
(2)若x∈[a,2a]求f(x)的最大值;
(3)若f(x1)=f(x2)=0(x1<x2),求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为O,半径为100m,并与北京路一边所在直线相切于点M.A为上半圆弧上一点,过点A作
的垂线,垂足为B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位:
),
(单位:弧度).
(I)将S表示为的函数;
(II)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施不能建设开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在直线上),公共设施边界为曲线的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N,切曲线于点P,设
.
(I)将(O为坐标原点)的面积S表示成f的函数S(t);
(II)若,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
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