Question

设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k₁，直线PN的斜率为k₂，试探究k₁•k₂是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为，解得c，进一步求得a，b的值，从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）由解得，或，表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．
解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为，解得c=2．又∵，∴，∴b=2．
∴椭圆C的方程为．（6分）
（Ⅱ）由解得，或，
不妨设，P（x，y），
∴，
由，即x²=8-2y²，代入化简得为定值．（12分）
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．