Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面是等边三角形，顶点A₁在底面的射影为点B，且△ABA₁是一个等腰直角三角形，则异面直线AB与B₁C所成的角大小为（　　）

• A、

  π

  4

• B、arccos

  3

  4

• C、arccos

  2 5

  5

• D、

  π

  3

Answer 1

分析：建立坐标系，写出各点的坐标，求出

AB

， 

B1C

的坐标，利用向量的数量积公式求出

AB

，

B1C

的夹角余弦，取其绝对值即为异面直线AB与B₁C所成的角的余弦．

解答：解：取AC的中点D，以BD为x轴，以BA₁为z轴，过B平行于AC的直线为y轴建立坐标系，设底面的边长为1，则侧棱长为

2

则
A（

3

2

，-

1

2

，0），B（0，0，0），C（

3

2

，

1

2

，0），B1(-

3

2

，

1

2

，1)

AB

=(-

3

2

，

1

2

，0)，

B1C

=(

3

，0，-1)
∴

AB

•

B1C

=-

3

2

∵|

AB

|=1，|

B1C

|=2
∴cos＜

AB

，

B1C

＞=

AB • B1C

| AB |=1| B1C |

=-

3

4

设异面直线AB与B₁C所成的角为θ
∴cosθ=

3

4

∴θ=arccos

3

4

故选B

点评：解决立体几何中的点、线、面的位置关系及度量关系常借助的工具是空间向量．