Question

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（7≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）²万件．
（Ⅰ）求该分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出每件产品的利润，乘以价格得到利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）求出利润函数的导函数，由a得范围得到导函数零点的范围，分类讨论原函数在[9，11]上的单调性，并求出a在不同范围内的利润函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L=（x-3-3）（12-x）²=（x-6）（144+x²-24x）=x³-30x²+288x-864，x∈[7，11]…（6分）
（Ⅱ）L'=3x²-60x+288=3（x²-20x+96）=3（x-12）（x-8）
令L'=0，得x=8或x=12（不合题意，舍去）．…（8分）
当x∈[7，8]时，L'＞0，L单调递增；当x∈[8，11]时，L'＜0，L单调递减…（10分）
于是：当每件产品的售价x=8时，该分公司一年的利润最大，且最大利润L_max=32万元…（12分）

点评：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，是中档题．