Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2c•cosA=2b-

3

a．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若b=

3

a，△ABC的面积

3

sin2A，求a、c的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（I）已知等式利用正弦定理化简，把sin（A+C）=sinB代入，整理求出cosC的值，即可确定出角C的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把b=

3

a，sinC以及已知面积相等求出

a

sinA

的值，利用正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出a的值即可．

解答： 解：（I）由2c•cosA=2b-

3

a，
利用正弦定理化简得：2sinCcosA=2sinB-

3

sinA，即2sinCcosA=2sin（A+C）-

3

sinA，
整理得：2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinC-

3

sinA，即2sinAcosC-

3

sinA=0，
分解得：sinA（2cosC-

3

）=0，
∵sinA≠0，
∴cosC=

3

2

，
则C=

π

6

；
（Ⅱ）∵b=

3

a，C=

π

6

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

a²，
∵S_△ABC=

3

sin²A，
∴

3

sin²A=

3

4

a²，即

a

2

=sinA，
整理得：

a

sinA

=2，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

=2，即c=2sinC=1，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即1=a²+3a²-3a²，
解得：a=1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．