已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=.
(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.
(Ⅰ);(Ⅱ)①详见解析,②
【解析】
试题分析:(1)由抛物线定义等于点到准线的距离,可求点的横坐标,代入抛物线方程求点的纵坐标;(2)由已知直线斜率互为相反数,可设其中一条斜率为,写出直线方程并与抛物线联立之得关于的二次方程(其中有一根为1),或的一元二次方程(其中有一根为1),再利用韦达定理并结合直线方程,求出点的坐标,然后用代替得点的坐标,代入斜率公式看是否定值即可;(3)依题意,利用向量式得三点坐标间的关系,从而求,进而可求直线的方程,再确定两点坐标,在中利用余弦定理求.
试题解析:(1)设(>0),由已知得F,则|SF|=,∴=1,∴点S的坐标是(1,1);
(2)①设直线SA的方程为
由得∴,∴.
由已知SA=SB,∴直线SB的斜率为,∴ ∴
②设E(t,0),∵|EM|=|NE|,∴,
∴ ,则∴ ∴直线SA的方程为,则,同理 ,∴
考点:1、抛物线定义;2、韦达定理;3、余弦定理.
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年河北省高三第三次模拟考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=.
(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年四川省高三2月月考数学理卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=。
(1)求点S的坐标;
(2)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值。
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