Question

函数f(x)=

1，x为有理数 π，x为无理数

，下列结论不正确的（　　）

A．此函数为偶函数

B．此函数是周期函数

C．此函数既有最大值也有最小值

D．方程f[f（x）]=1的解为x=1

Answer 1

A．若x为有理数，则-x也为有理数，∴f（-x）=f（x）=1，
若x为无理数，则-x也无有理数，∴f（-x）=f（x）=π，∴恒有f（-x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数．∴A正确．
B．设T为一个正数．当T为无理数时，有f（0）=1，f（0+T）=f（T）=π，∴f（0）=f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期；
当T为有理数时，若x为有理数，易知x+kT（k为整数）还是有理数，有f（x+T）=f（x），
若x为无理数，易知x+kT（k为整数）还是无理数，仍有f（x+T）=f（x）．综上可知，任意非0有理数都是f（x）的周期．此命题也是对的．
C．由分段 函数的表达式可知，当x为有理数时，f（x）=1，当x为无理数时，f（x）=π，
∴函数的最大值为π，最小值为1，∴C正确．
D．当x为有理数时，f（x）=1，则f[f（x）]=f（1）=1，此时方程成立．
当x为无理数时，f（x）=π，则f[f（x）]=f（π）=π，∴D错误．
故选：D．