Question

14．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{3-a}）x-1，x≤5\\{a^{x-4}}，x＞5\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$，数列{a_n}满足${a_n}=f（n）（{n∈{N^*}}）$，且{a_n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （2，3）
• C． $[{\frac{7}{3}，3}）$
• D． $（{1，\frac{7}{3}}]$

Answer 1

分析 数列a_n满足a_n=f（n）（n∈N^*），且a_n是递增数列，我们易得函数f（x）为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3-a＞0，且f（5）＜f（6），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．

解答 解：∵数列{a_n}是递增数列，
又∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{3-a}）x-1，x≤5\\{a^{x-4}}，x＞5\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$，
a_n=f（n）（n∈N^*），
∴1＜a＜3且f（5）＜f（6）
∴5（3-a）-1＜a²
解得a＜-7，或a＞2，
故实数a的取值范围是（2，3），
故选：B．

点评 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n∈N^*时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f（5）＜f（6），从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键．