Question

如图所示的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1，（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加，则第n+1行中第2个数是

 

（用n表示）．

Answer 1

分析：为了更好的观察，每一行第二个数字之间的彼此联系，本题可以在第一行的第二个位置增加一个数为1，由数列求通项可以先找到相邻两项的等式关系，然后由数列求通项的方法求出第n+1项即可．

解答：解：设第一行的第二个数为a₁=1，
由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a_n+1=a_n+n，
即a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-1-a_n-2=n-2，a_n-a_n-1=n-1，a_n+1-a_n=n，
∴a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+1=

n(n+1)

2

+1=

n2+n+2

2

；
故答案应填

n2+n+2

2

点评：本题主要考查数列的递推关系，其解题关键在于找到相邻项的递推公式，属于中档难度的题型，容易在计算项的时候出现失误．