Question

12．已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x³+x²（x-lnx）-16x．
（1）求f（x）的单调区间及极值；
（2）求证：g（x）＞-20．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间；
（2）求出g（x）≥x³+x²-16x，（x＞0），设h（x）=x³+x²-16x，（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，（x＞0），
由f′（x）=0得x=1．
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；      
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；    
∴x=1是函数f（x）的极小值点，
故f（x）的极小值是1．
（2）证明：由（1）得：f（x）≥1，
∴g（x）≥x³+x²-16x，（x＞0），当且仅当x=1时“=”成立，
设h（x）=x³+x²-16x，（x＞0），
则h′（x）=（3x+8）（x-2），
令h′（x）＞0，解得：x＞2，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴h（x）_min=h（2）=-20，
∴h（x）≥-20，当且仅当x=2时“=”成立，
因取条件不同，
故g（x）＞-20．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．