Question

4．已知过双曲线x²-y²=2的左焦点作直线l与双曲线交于A，B两点．且|AB|=4，则这样的直线有（　　）

• A． 1条
• B． 2条
• C． 3条
• D． 4条

Answer 1

分析 左焦点为（-2，0），当AB的斜率不存在时，经检验不满足条件，当AB的斜率存在时，判断满足条件的斜率存在的直线共有4条．

解答 解：两个顶点的距离为：$2\sqrt{2}$．
左焦点为（-2，0），当AB的斜率不存在时，直线AB方程为 x=-2，
代入双曲线x²-y²=2的方程可得y=±$\sqrt{2}$，即A，B两点的纵坐标分别为$\sqrt{2}$和-$\sqrt{2}$，不满足|AB|=4．
当AB的斜率存在时，直线与左支的交点的距离为4时有2条，与支与右支个一个交点，距离为4，也有2条；
综上，所有满足条件的直线共有4条，
故选：D．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出满足条件的直线的斜率，是解题的关键和难点．