Question

【题目】在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l： (t为参数)与曲线C相交于M，N两点．

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.（2）a＝1.

【解析】试题分析：（1）根据将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，根据加减消元得直线l的普通方程；（2）由等比数列条件得(t1－t2)2＝t1·t2，将直线参数方程代入圆方程，根据直线参数几何意义以及韦达定理得方程，解方程得实数a的值．

试题解析：(1)把代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)，

由 (t为参数)，消去t得x－y－2＝0，

∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是

y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.

(2)将 (t为参数)代入y2＝2ax，

整理得t2－2 (4＋a)t＋8(4＋a)＝0.

设t1，t2是该方程的两根，

则t1＋t2＝2 (4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，

∵|MN|2＝|PM|·|PN|，

∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，

∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，

∴a＝1.