Question

【题目】已知：函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数，讨论的单调性；

（3）若函数的图象与轴交于两点，且．设，其中常数、满足条件，且．试判断在点处的切线斜率的正负，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)极小值1，无极大值(2) 当时， 在上单调减；当时， 在和上单调减，在上单调增（3）在点处的切线斜率为正.

【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，讨论二次项系数的符号、判别式的符号及两根大小进行求解；（3）先将问题转化为判断的符号，合理构造函数进行证明.

试题解析：（1）当时， ∴，令，则，列表得：

		1
		0
	单调减	极小值	单调增

∴有极小值，无极大值；

（2）， ∴，设

①当时， 恒成立，即恒成立，∴ 在上单调减；

②当且，即时， 恒成立，且不恒为0，则恒成立，且不恒为0，∴在上单调减；

③当且，即时，

有两个实数根： ，且

∴ ∴当或时， ， ；当时， ， ；

∴在和上单调减，在上单调增．

∴综上：当时， 在上单调减；当时， 在和上单调减，在上单调增.

（3）， ，问题即为判断的符号．

∵函数的图象与轴交于两点，且

∴ 两式相减得：

∴

∴

)

∵且 ∴ ∵ ∴

研究： 的符号，即判断的符号．

令， ，设

∴

方法（一）设，其对称轴为：

∴在上单调减，则，即在上恒成立 ∴在上单调增 ∴，即

∵ ∴

∴，即

∴在点处的切线斜率为正．

方法（二）

∵， ∴ ∴在上恒成立

∴在上单调增 ∴，即

∵ ∴

∴，即

∴在点处的切线斜率为正．