Question

9．已知函数f（x）=log₂（2|x+1|+|2x+m|-m）
（I）当m=6时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当函数f（x）的值域为R时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当m=6时，函数f（x）=log₂（|2x+2|+|2x+6|-6），求出|2x+2|+|2x+6|-6＞0的解集可得函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当函数f（x）的值域为R时，2|x+1|+|2x+m|-m的最小值|2-m|-m≤0，解得实数m的取值范围．

解答 解：（I）当m=6时，函数f（x）=log₂（|2x+2|+|2x+6|-6），
由|2x+2|+|2x+6|-6=0得：x=-$\frac{1}{2}$，或x=-$\frac{7}{2}$，
故|2x+2|+|2x+6|-6＞0的解集为：（-∞，-$\frac{7}{2}$]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞），
故函数f（x）的定义域为：（-∞，-$\frac{7}{2}$]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞），
（Ⅱ）2|x+1|+|2x+m|-m=|2x+2|+|2x+m|-m≥|（2x+2）-（2x+m）|-m=|2-m|-m，
若函数f（x）的值域为R，
则|2-m|-m≤0，即|2-m|≤m，
即-m≤2-m≤m，
解得：m≥1

点评 本题考查的知识点是函数的定义域，函数的值域，函数的最值，绝对值三角不等式，难度中档．