【题目】已知二次函数的图象过点(1,13),且函数
是偶函数.
(1)求的解析式;
(2)已知,
,求函数
在[
,2]上的最大值和最小值;
(3)函数的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.
【解析】分析:(1)由是偶函数,知函数
的对称轴是
,再由二次函数性质可得;
(2)由(1),按
的正负分类去绝对值符号,得两个二次函数,配方得对称轴,再按对称轴与区间
的关系分类可求得最值;
(3)假设存在,并设点坐标P,其中
为正整数,
为自然数,则
,从而
,即
,注意到43是质数,且
,可得
,
,从而得解.
详解:(1)因为函数是偶函数,所以二次函数
的对称轴方程为
,故
.
又因为二次函数的图象过点(1,13),所以
,故
.
因此,的解析式为
.
(2) 当
时,
,
当时,
,
由此可知=0.
当,
;
当,
;
当,
;
(3)如果函数的图象上存在符合要求的点,设为P
,其中
为正整数,
为自然数,则
,从而
,
即.
注意到43是质数,且,
,所以有
解得
因此,函数的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣3x2﹣m,g(x)=3ex﹣6(1﹣m)x﹣3(m∈R,e为自然对数底数).
(1)试讨论函数f(x)的零点的个数;
(2)证明:当m>0,且x>0时,总有g(x)>f'(x).
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【题目】已知集合A={x|log2x>2}, ,则下列结论成立的是( )
A.A∩B=A
B.(RA)∩B=A
C.A∩(RB)=A
D.(RA)∩(RB)=A
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【题目】平面直角坐标系 中,倾斜角为
的直线
过点
,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线 的参数方程(
为常数)和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线 与
交于
、
两点,且
,求倾斜角
的值.
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【题目】某学生对函数的性质进行研究,得出如下的结论:
①函数在
上单调递增,在
上单调递减;
②点是函数
图像的一个对称中心;
③存在常数,使
对一切实数
均成立;
④函数图像关于直线
对称.其中正确的结论是__________.
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【题目】如图,在矩形 中,
,点
为
的中点,
为线段
(端点除外)上一动点.现将
沿
折起,使得平面
平面
.设直线
与平面
所成角为
,则
的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数y=cosx的图象与直线x= ,x=
以及x轴所围成的图形的面积为a,则(x﹣
)(2x﹣
)5的展开式中的常数项为(用数字作答).
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