Question

已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（a，0）．
（Ⅰ）若l₁、l₂都和圆C相切，求直线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l₁、l₂都相切，求圆M的方程；
（Ⅲ）当a=-1时，求l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据题意得l₁，l₂的斜率都存在，设l1：y=k(x-a)，则l2：y=-

1

k

(x-a)，则

|2k+ak k2+1 =2 |2+a k2+1 =2

，由此能够求出直线l₁、l₂的方程．
（Ⅱ）设圆的半径为r，则

(1-2)2+m2=2r2 (1+2)2+m2=(2+r)2

解得

r=2 m=± 7

，由此能得到所求圆M的方程．
（Ⅲ）当a=-1时，l₁、l₂被圆C所截得弦的中点分别是E、F，当a=-1时，l₁、l₂被圆C所截得弦长分别是d₁、d₂；圆心为B，则AEBF为矩形，所以BE²+BF²=AB²=1，由此能够求出l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值．

解答：解：（1）根据题意得l₁，l₂的斜率都存在，设l1：y=k(x-a)，则l2：y=-

1

k

(x-a)（1分）
则

|2k+ak k2+1 =2 |2+a k2+1 =2

k=±1，a=-2±2

2

∴l1，l2的方程分别是l1：y=x-2 2 +2与l2：y=-x-2 2 +2； 或l1：y=x+2 2 +2与l2：y=-x+2 2 +2

（6分）
（Ⅱ）设圆的半径为r，则

(1-2)2+m2=2r2 (1+2)2+m2=(2+r)2

解得

r=2 m=± 7

，
所以所求圆M的方程为(x-1)2+(y±

7

)2=4（11分）
（Ⅲ）当a=-1时，l₁、l₂被圆C所截得弦的中点分别是E、F，当a=-1时，l₁、l₂被圆C所截得弦长分别是d₁、d₂；圆心为B，则AEBF为矩形，
所以BE²+BF²=AB²=1，即(4-(

d1

2

)2)+(4-(

d2

2

)2)=1∴d₁²+d₂²=28，（14分）
所以d1+d2≤

2

d 2 1 + d 2 2

=2

14

即l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值2

14

（16分）

点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．