Question

【题目】已知函数，g（x）＝f（x）﹣3．

（1）判断并证明函数g（x）的奇偶性；

（2）判断并证明函数g（x）在（1，+∞）上的单调性；

（3）若f（m2﹣2m+7）≥f（2m2﹣4m+4）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 奇函数，见解析 (2) 单调递增，证明见解析(3) [﹣1，3]．

【解析】

（1）函数g（x）为奇函数，计算得到得到证明.

（2）函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，设1＜x1＜x2，计算g（x1）﹣g（x2）＜0得到证明.

（3）根据函数的单调性得到不等式m2﹣2m+7≥2m2﹣4m+4，计算得到答案.

（1）根据题意，g（x）为奇函数，

g（x）＝f（x）﹣33＝﹣（），

其定义域为{x|x≠﹣1且x≠0且x≠1}，关于原点对称，

则有g（﹣x）＝﹣（）＝﹣g（x），则函数g（x）为奇函数；

（2）根据题意，函数g（x）在（1，+∞）上的单调递增，设1＜x1＜x2，

g（x1）﹣g（x2）＝﹣[]+[]

＝（x1﹣x2）[]，

又由1＜x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）＜0，则函数g（x）在（1，+∞）上的单调递增，

（3）根据题意，g（x）在（1，+∞）上的单调递增，

f（x）＝g（x）+3在（1，+∞）上的单调递增；

又由m2﹣2m+7＝（m﹣1）2+6＞1，2m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+2＞1

f（m2﹣2m+7）≥f（2m2﹣4m+4）m2﹣2m+7≥2m2﹣4m+4，解可得：﹣1≤m≤3；

即m的取值范围为[﹣1，3]．