【题目】已知函数f(x)=2lnx+ ﹣mx(m∈R).
(Ⅰ)当m=﹣1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)上为单调递减,求m的取值范围;
(Ⅲ)设0<a<b,求证: .
【答案】解:(Ⅰ)m=﹣1时,f(x)=2lnx+ +x,
∴f′(x)= ﹣ +1,f(1)=2,f′(1)=2,
故切线方程是:y﹣2=2(x﹣1),
即2x﹣y=0;
(Ⅱ)f′(x)= ﹣ ﹣m≤0在x∈(0,+∞)恒成立,
即m≥ ﹣ 在x∈(0,+∞)恒成立,
令g(x)= ﹣ ,(x>0),
∴m≥g(x)max ,
g(x)=﹣ +1,当 =1时,g(x)max=1,
故m≥1;
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)m=1时,
f(x)=2lnx+ ﹣x在x∈(0,+∞)上递减,
∵0<a<b,∴ >1,
∴f( )<f(1),
∴2ln + ﹣ <0,
lnb﹣lna< ,
即
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算f(1),f′(1)的值,求出切线方程即可;(Ⅱ)求出函数的导数,问题转化为m≥ ﹣ 在x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)= ﹣ ,(x>0),根据函数的单调性求出m的范围即可;(Ⅲ)取m=1,根据函数的单调性得到f( )<f(1),即2ln + ﹣ <0,从而证明结论即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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【题目】设{an}是等比数列,下列结论中正确的是( )
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0<a1<a2 , 则2a2<a1+a3
D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0
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【题目】将函数f(x)=3sin(4x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是( )
A.x=
B.x=
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当t≥1时,不等式f(2t﹣1)≥2f(t)﹣3恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AP⊥BP,AC⊥BC,∠PAB=60°,∠ABC=45°,D是AB中点,E,F分别为PD,PC的中点.
(Ⅰ)求证:AE⊥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角B﹣PA﹣C的余弦值;
(Ⅲ)在棱PB上是否存在点M,使得CM∥平面AEF?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知Sn表示数列{an}的前n项和,若对任意的n∈N*满足an+1=an+a2 , 且a3=2,则S2016=( )
A.1006×2013
B.1006×2014
C.1008×2015
D.1007×2015
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【题目】α、β是两个平面,m、n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n , m⊥α , n∥β , 那么α⊥β.
②如果m⊥α , n∥α , 那么m⊥n.
③如果α∥β , m α , 那么m∥β.
④如果m∥n , α∥β , 那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)
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