Question

9．在△ABC中，$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2AB-AC}{AC}$．
（1）求tanA；
（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}=\frac{2sinC-sinB}{sinB}$，利用三角函数恒等变换的应用进一步化简可得$cosA=\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，即可得解．
（2）由已知及余弦定理可得1=AC²+AB²-AC•AB，利用基本不等式解得AC•AB≤1，从而得解．

解答 解：（1）由正弦定理知$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}=\frac{2sinC-sinB}{sinB}$，
即$\frac{sinBcosA+sinAcosB}{sinBcosA}=\frac{2sinC}{sinB}$，
∴$\frac{sin（A+B）}{sinBcosA}=\frac{2sinC}{sinB}$，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}，tanA=\sqrt{3}$．
（2）在△ABC中，BC²=AC²+AB²-2AC•ABcosA，且BC=1，
∴1=AC²+AB²-AC•AB，
∵AC²+AB²≥2AC•AB，
∴1≥2AC•AB-AC•AB，
即AC•AB≤1，当且仅当AC=AB=1时，AC•AB取得最大值1，
此时$B=\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．