Question

如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．
（Ⅰ）求sin∠BDC的值；
（Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知可得 CD=20，△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin∠BDC 的值．
（Ⅱ）由已知可得∠BAD=60°，由此可得sin∠ABD=sin（∠BDC-60°）的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到达A的时间．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得 CD=40×

1

2

=20，
△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

，
∴sin∠BDC=

4 3

7

．
（Ⅱ）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，
∴sin∠ABD=sin（∠BDC-60°）=

4 3

7

×

1

2

-（-

1

7

）×

3

2

=

5 3

14

．
△ABD中，由正弦定理可得AD=

BD×sin∠ABD

sin∠BAD

=

21×sin∠ABD

sin∠BAD

=15，
∴t=

15

40

×60=22.5分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式公式的应用，属于中档题．