【题目】(本题满分12分) 如图,的外接圆的半径为,所在的平面,,,,且,.
(1)求证:平面ADC平面BCDE.
(2)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为?若存在,
确定点M的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)答案详见解析;(2)存在,且.
【解析】
试题(1)由已知中CD⊥⊙O所在的平面,BE∥CD,易得BE⊥平面ABC,则BE⊥AB,由BE=1,,易得AB是⊙O的直径,则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE;(2)方法一:过点M作MN⊥CD于N,连接AN,作MF⊥CB于F,连接AF,可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角,设MN=x,则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为,我们可以构造关于x的方程,解方程即可求出x值,进而得到点M的位置.方法二:建立如图所示空间直角坐标系C-xyz,求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量(含参数λ),由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为,根据向量夹角公式,我们可以构造关于λ的方程,解方程即可得到λ值,进而得到点M的位置.
试题解析:(1)∵CD ⊥平面ABC,BE//CD
∴BE⊥平面ABC,∴BE⊥AB
∵BE=1,∴,
从而
∵⊙的半径为,∴AB是直径,
∴AC⊥BC
又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD
平面BCDE,∴平面ADC平面BCDE
(2)方法1:
假设点M存在,过点M作MN⊥CD于N,连结AN,作MF⊥CB于F,连结AF
∵平面ADC平面BCDE,
∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角
设MN=x,计算易得,DN=,MF=
故
解得:(舍去),…11分
故,从而满足条件的点存在,且
方法2:建立如图所示空间直角坐标系C—xyz,
则:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),O(0,0,0),则
易知平面ABC的法向量为,假设M点存在,设,则,再设 ,
即,从而…10分
设直线BM与平面ABD所成的角为,则:
解得,其中应舍去,而故满足条件的点M存在,且点M的坐标为
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【题目】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,,平面BB1C1C底面ABCD,点、F分别是线段、BC的中点.
(1)求证:AF//平面;
(2)求证:平面BB1C1C⊥平面.
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【题目】在直角坐标平面上的一列点简记为,若由构成的数列满足,(其中是与轴正方向相同的单位向量),则称为“点列”.
(1)试判断:,...是否为“点列”?并说明理由.
(2)若为“点列”,且点在点的右上方.任取其中连续三点,判断的形状(锐角,直角,钝角三角形),并证明.
(3)若为“点列”,正整数满足:,且,求证:.
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【题目】某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客,旅游人数与人均消费(元)的关系如下:.
(1)若游客客源充足,那么当天接待游客多少人时,公园的旅游收入最多?
(2)若公园每天运营成本为5万元(不含工作人员的工资),还要上缴占旅游收入的税收,其余自负盈亏,目前公园的工作人员维持在40人,要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元,并维持每天正常运营(不负债),每天的游客人数应控制在怎样的合理范围内?(注:旅游收入=旅游人数×人均消费)
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:,,,,.
分数段 | ||||
1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
(1)求图中的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示,求数学成绩在之外的人数.
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【题目】某海警基地码头的正西方向海里处有海礁界碑,过点且与成角(即北偏东)的直线为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头的正西方向且距离点海里的领海海面处有一艘可疑船停留,基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后,海警巡逻艇从处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的倍前去拦截,假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速,将在点处截获可疑船。
(1)若可疑船的航速为海里小时,,且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑,求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间。
(2)若要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船,求的最小值。
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【题目】已知函数,若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.
(1)若,证明:函数必有局部对称点;
(2)若函数在区间内有局部对称点,求实数的取值范围;
(3)若函数在上有局部对称点,求实数的取值范围.
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